Exercice Résolu 1
Énoncé :
Le graphique 1 représente la courbe de la fonction f défi nie par
. Le point B est un point de l'axe des abscisses. Le point A est un point du segment [OB]. Le point E est un point de la courbe ayant la même abscisse que le point A. Dans le graphique 2, la trace du point M donne la représentation de l'aire du triangle ABE en fonction de la distance OA.
Question
Partie A : Lecture graphique:
Déterminer l'abscisse du point B. Interpréter l'allure de la courbe décrite par la trace du point M.
Partie B :
Conjecture à l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique.
Déterminer les valeurs approchées au dixième près de l'aire maximale du triangle ABE et de la distance OA correspondante.
Partie C : Démonstration
a. Montrer que l'aire
du triangle ABE est telle que, pour
de l'intervalle [0; 3],
b. En déduire la valeur de
pour laquelle le maximum de la fonction
est atteint et la valeur du maximum de cette fonction
.c. Conclure.
L'abscisse du point B est 3.
La trace du point M montre que l'aire du triangle ABE n'est pas constante et qu'elle présente une valeur maximale.
À l'aide de GeoGebra, on obtient que l'aire maximale du triangle ABE vaut environ 4,3 lorsque la distance OA vaut environ 2,3.
a. S oit x l'abscisse du point A. Alors, la distance
. La distance
. L'aire du triangle ABE est
b. Le maximum de g est environ 4,27 atteint pour x = 2,25.
c. L'aire maximale du triangle ABE vaut environ 4,27 lorsque la distance OA vaut exactement 2,25.
