Exercice Résolu 2
Énoncé :
Le graphique 1 représente la parabole G d'équation
. A et B sont deux points de la parabole G. M est un point du segment [AB] et N est un point de la parabole G de même abscisse que le point M. On note m l'abscisse du point M. Dans le graphique 2, la trace du point S donne la représentation de l'aire du triangle MNB en fonction de m.
graphique 1 | graphique 2 |
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Question
Partie A : Lecture graphique
Déterminer les abscisses des points A et B.
Déterminer la longueur du segment [MN] lorsque m = 0. En déduire alors la position du point N.
Interpréter l'allure de la courbe décrite par la trace du point S.
Partie B : Recherche de l'aire maximale du triangle MNB.
Conjecture à l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique.
a. Construire le graphique 1 en respectant les contraintes de l'énoncé.
Appeler le professeurb. Représenter dans un repère la trace du point S d'abscisse
et d'ordonnée l'aire du triangle MNB.Appeler le professeurc. Déterminer les valeurs approchées au dixième près de l'aire maximale du triangle MNB et l'abscisse du point M correspondant.
Démonstration
a. Montrer que l'aire
du triangle MNB est telle que, pour x élément de l'intervalle [−4; 3],
b. En déduire la valeur de x pour laquelle le maximum de
est atteint et la valeur du maximum de
.c. Conclure.
Partie A : Lecture graphique
L'abscisse du point A est
et l'abscisse du point B est 3.Lorsque
, la distance du segment MN vaut environ 18 et le point est alors confondue avec l'origine du repère.La trace du point S montre que l'aire du triangle MNB n'est pas constante et qu'elle présente une valeur maximale.
Partie B : Recherche de l'aire maximale du triangle MNB.
c. À l'aide de GeoGebra, on obtient que l'aire maximale du triangle MNB vaut environ 25,41 lorsque le point M a pour abscisse environ -1,66.
a. La droite (AB) a pour
.
) et
La distance
. La hauteur du triangle MNB relative au coté [MN] vaut
.Donc l'aire du triangle MNB vaut :
b. Pour
,
est maximal. Ce maximum vaut environ 25,407.
